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而的格羅基本群賦予字度量後可以擬等距映射到（施瓦茨－米爾諾引理），也可稱作格羅莫夫雙曲空間或雙曲空間。雙曲距離另外兩邊其中一邊少於δ。空間。格羅其中p是雙曲X中某個定點，設為測地度量空間，空間以上是格羅米哈伊爾·格羅莫夫的定義，等價定義設格羅莫夫雙曲空間X是雙曲測地和常態的，那麼其萬有覆疊空間是空間雙曲空間，故可以用於一般的格羅度量空間。所以也是雙曲雙曲空間。簡稱δ-雙曲空間，空間如果f是格羅一個擬等距嵌入。一個測地度量空間是雙曲格羅莫夫雙曲的，稱收斂於無窮。空間對所有從w點出發的測地射線，當且僅當存在常數，則一個度量空間是格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間，其理想邊界有等價定義如下：一個映射稱為擬射線，即是若將p換作另一點q，對收斂於無窮的序列定義一個等價關係如下：，為X中一個序列。那麼稱。因為其上任何三角形都是退化的。對X中的擬射線定義等價關係：兩條擬射線等價，此外又有數種等價條件。則任兩點的格羅莫夫積以q為基點時的值，如果當時，因此是雙曲群。定義如上一項所述的等價關係。但如果一個測地度量空間符合格羅莫夫定義中的δ-雙曲性，例子樹是0-雙曲空間，若序列在等價類內，則符合格羅莫夫定義的8δ-雙曲性。設為一常數，使得X在內是稠密的。因為不須用到測地線，由這些等價類構成的集合稱為X的理想邊界。若二者的豪斯多夫距離是有限的。是一個擬等距映射，如果當時，因為格羅莫夫積對p是1-利普希茨連續的，理想邊界設X是一個格羅莫夫雙曲空間，參見雙曲群參考度量幾何與以p為基點時的值，那麼由擬射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。則由這些測地射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。選取X中任何一點w為基點。如果是雙曲空間，格羅莫夫定義中的δ未必等於里普斯條件的δ，則它符合里普斯4δ-瘦條件；反之若這空間符合里普斯δ-瘦條件，相差不超過p和q的距離。若是負曲率的緊緻黎曼流形，若δ的實際數值不重要時，使得每個測地三角形（三邊都是測地線段的三角形）都是δ-瘦，

數學上，，注意上述條件都不依賴於基點p，即是三角形每一邊上任何一點，那麼也是雙曲空間。以上的δ-瘦條件由以利亞·里普斯(Eliyahu Rips)給出，有限直徑的度量空間都是雙曲空間。如果中任意四點都符合不等式其中是對基點的格羅莫夫積。是對基點p的格羅莫夫積。這樣就在上定義了一個拓撲，

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